گروه آموزشی پنجم و ششم کاشان  

الگوی حل مساله جرج پولیا

1) اولين قدم در حل مسأله فهميدن و درك مسأله است كه بايد به كودك آموزش داد كه قبل از اقدام به حل مسأله ، صورت مسأله را چند بار با صداي بلند بخواند( توضیح دهید که نحوه ی خواندن مساله برای حل آن بسیار مهم می باشد.) و براي اينكه مسأله بهتر درك و فهميده شود بايد با طرح سؤالات پيگير داده ها و خواسته هاي مسأله را مشخص كرد و سپس از او بخواهيم كه مسأله را به زبان خودش بيان كند. به عبــــارتي ديگر اگر دانش آموزي توانست داده ها و خواسته هاي مسأله را مشخص كند و مسأله را به زبان خودش بيان و خلاصه كند يعني مسأله را درك كرده است. شكل رسم كند – نمايش اجرا كند.

مثال : حسين 200 تومان پول داشت. او 4 مداد رنگي 30 توماني خريد. چقدر برايش باقي ماند ؟

با رنگ هاي مختلف داده ها و خواسته هاي مسأله را مشخص كند.

سؤالات پيگير:

حسين چند تومان داشت ؟

چند مداد رنگي خريد ؟

چند توماني بودند ؟

چقدر خرج كرد؟ و ...

2) انتخاب يك راهبرد يا طرح و دياگرام دومين قدم در حل مسأله است. به عنوان مثال شما اگر قرار باشد جابجايي در وسايل اتاق انجام دهيد از قبل در ذهن خود يك نقشه طراحي مي كنيد و جاي قرار گرفتن اين وسايل را مشخص مي كنيد سپس در پايان اقدام به جابجايي وسايل مي نماييد. در حل مسائل نيز اين راهبرد بسيار مهم است.

تحقیقات نشان می دهد آن هایی که به راحتی مساله حل می کنند ، برای حل کردن مساله، شکلی رسم می کنند.

 البته لازم به ذكر است كه لزومي ندارد كه بچه ها جزئيات تصوير يا اشكال را رسم كنند بلكه چيزهاي ضروري را با رسم شكل انجام دهند مثلاً ممكن است سؤالي اين گونه مطرح شود :

اتوبوسي 10 رديف صندلي دارد. در هر رديف 4 صندلي وجود دارد. اين اتوبوس چند صندلي دارد ؟ مثلاً مي توان يك مستطيل كشيد كه آن را اتوبوس در نظر گرفت و ديگر نياز نيست وسايل داخلي و جزئيات بي مورد را رسم كرد.

يا حسين 75 تومان داشت  پولش را خرج كرد. چقدر باقي ماند ؟

به دانش آموزان یاد بدهید که مساله های مشکل را به مساله های ساده تبدیل کنند ،تا از طریق حل مساله های ساده به حل مساله های اصلی پی ببرند.

مثال:

 مساله ی اصلی:مدیر مدرسه ای برای جشن 22 بهمن 740پرچم دارد . در انبار مدرسه 355پرچم وجود دارد. او چند پرچم دیگر باید تهیه کند؟

مساله ی ساده تر:مدیر مدرسه به 5 پرچم نیاز دارد. 2 پرچم در انبار وجود دارد. او چند پرچم دیگر باید تهیه کند؟

  يك مسأله ممكن است درك آن براي بچه ها مشكل باشد مي توان براي ساده تر كردن مسأله و درك بهتر آن مسأله اصلي را به چند مسأله كوچكتر تقسيم كرد. و اين كار به فكر کودک مي دهد و حل مسأله را برايشان آسان تر می کند.

مثال : علي 300 تومان پول داشت. 2 دفتر 50 توماني و 3 خودكار 40 توماني خريد. چقدر برايش باقي ماند ؟

 مي توان اين مسأله را به زير مسأله هاي ساده تر تبديل كرد.

مثلاً :

 مسأله اول: قيمت دو دفتر چند تومان است ؟

مسأله دوم:قيمت 3 خودكار چند تومان است ؟

مسأله سوم:پول دو دفتر و سه خودكار چقدر است ؟

حال از آنها مي خواهيم كه اين زير مسأله ها را حل كنند.

در بسياري از فعاليتهاي اوليه يادگيري كودكان با مشاهده تصادفي تصاوير و يا اعداد به الگويي دست مي يابند كه اغلب دانش آموزان براي اجراي اين كار جدول رسم مي كنند و سپس در آن به دنبال الگو مي گردند.

مثلاً براي پيدا كردن تعداد قطرهاي يك چند ضلعي مي توان اينگونه عمل كرد.

بچه ها : قطر را تعريف كنيد. حالا قطرهاي چند ضلعي هاي زير را رسم كنيد.

                

..............                                                                             

 

حال با نگاه كردن به تصاوير و تعداد قطرهاي آن يك جدول رسم و الگويي براي آن پيدا كنيد.

كه در پايان مي توان فرمول  را بدست آورد.

قدم بعدي در حل يك مسأله ، حدس و آزمايش توسط بچه هاست.(از بچه ها بخواهید که بعد از خواندن مساله ، پاسخ را حدس بزنند . این امر کــمک می کند با تفکر بیشتری به مساله بنگرند. ) طي سالهاي متمادي ، كودكان از حدس زدن منع مي شوند و با لحن تمسخرآميزي به آنها گفته مي شود : «تو فقط حدس مي زني !» اما حدس زدن راهبرد تسريع كننده رشد است. البته حدس تربيت يافته كه بر مبناي توجه دقيق به ظاهر مسأله و دانشي كه از ارتباطهاي آزموده شده قبلي به دست آمده ، استوار است ، نه حدس كوركورانه و نامعقول.

البته لازم به ذكر است كه حدس زدن به حل مسأله منجر نمي شود ولي به شما كمك مي كند كه به راه حل آن نزديك شويم.

مثلاً : حسن 62 كيلومتر را در 4 ساعت با دوچرخه پيمود. اگر او هر ساعت 5 كيلومتر بيشتر از ساعت قبل پيموده باشد در ساعت سوم چند كيلومتر پيموده ؟

فرض دوم

فرض اول

اگر ساعت اول 8 كيلومتر راه رفته باشد

اگر ساعت اول 7 كيلومتر راه رفته باشد

ساعت دوم 13 كيلومتر

ساعت دوم 12 كيلومتر

ساعت سوم 18 كيلومتر

ساعت سوم 17 كيلومتر

ساعت چهارم 23 كيلومتر

ساعت چهارم 22 كيلومتر

جمع 62 كيلومتر پس حدس ما صحيح بود

جمع 58 كيلومتر پس حدس ما صحيح نبود

 پس در ساعت سوم 18 كيلومتر راه را پيموده است.

يا : اعداد 1 تا 9 را در مربع جادويي زير چنان قرار دهيد كه مجموع آنها در هر جهت برابر با 15 شود ؟

البته لازم به ذكر است كه اين روش در حل مسأله در مسأله هاي چهار گزينه اي بيشتر كاربرد دارد.

3)اجرای طرح

در این مرحله باید به نکات زیر توجه نمایند:

الف) به حرکت خود نظم دهند.

ب) در هر مرحله از کار بدانند که چه کرده اند ، یا چه چیزی را به دست آورده اند.

ج)در محاسبات ریاضی دقت نمایند.  

4)بازگشت به عقب(بازنگری)

اگر به غلط بودن جواب پی برده اند دو حالت پیش می آید:

الف) طرحی که ریخته اند اشتباه بوده است که باید دوباره از نو شروع کنند.

ب) در محاسبات اشتباه کرده اند که باید محاسبات را دوباره بررسی نمایند.

هميشه يك راه حل براي مسأله وجود ندارد بلكه راه حل هاي ديگري نيز هست.

تحقيقات نشان داده است زماني را كه براي بحث كردن و بررسي مجدد مسير تفكرمان صرف مي كنيم نسبت به زماني كه صرف آموختن راهبرد به كودكان مي كنيم. اهميت بيشتري دارد.

و از امتحان كردن جواب به اين دليل طرفداري شده است كه آن را وسيله اي در نظر مي گيرند كه به كمك آن ، كودكان قادرند به دقت به اشتباهات خود اشاره كنند. يك راه امتحان كردن ، مرور مجدد عملكرد است و راه ديگر ، بررسي قابل بودن جواب است.

پس مي توان اين گونه بيان نمود كه براي حل هر مسأله حدوداً 4 مرحله را بايد در نظر گرفت. نخست ، مسئله را درك كنيد. دوم ، نقشه يا راهبردي براي حل آن طرح كنيد. سوم ، نقشه را اجرا كنيد. چهارم ، براي امتحان كردن جواب به دست آمده ، به عقب برگرديد.

 حال براي تفهيم بهتر مطالب نوشته شده دو نمونه مسأله آورده مي شود :

1) احمد 000/2 تومان پول دارد. او مي خواهد 8 دفترچه بخرد و با همه باقيمانده پولش مداد بخرد. قيمت هر دفترچه 135 تومان و قيمت هر مداد 30 تومان است. او چند مداد مي تواند بخرد. و چقدر برايش مي ماند ؟

الف) فهميدن مسأله :

- اطلاعات داده شده را بيان كنيد.

- مسأله از شما چه چيزي خواسته است ؟

- مسأله را خلاصه كنيد.

ب) انتخاب راهبرد : اين مسأله از چند مسأله ساده و كوچك به وجود آمده است. اگر آنها را مشخص كنيد حل مسأله برايتان آسان مي شود. زير مسأله ها (مسأله هاي كوچكتر) عبارتند از :

1- براي خريد 8 دفترچه چقدر پول لازم است ؟

2- بعد از خريد 8 دفترچه ،‌ چقدر پول باقي مي ماند ؟

3- با پول باقي مانده چند مداد 30 توماني مي توان خريد ؟ و چه قدر باقي مي ماند ؟

ج) حل مسأله : مسأله هاي كوچك را به ترتيب حل كنيد.

     (1   قيمت دفترچه ها     تومان  1080=135×8                 

  (2      پول باقي مانده                   تومان 920=1080-2000    

***

يعني 30 مداد مي توان خريد و 20 تومان باقي مي ماند.

 د) بازگشت به عقب : آيا پاسخ به دست آمده ، همان خواسته هاي مسأله است ؟

 - راه حل ها و عمليات مسأله را امتحان و درستي آنها را بررسي كنيد.

2) در يك كارخانه لوله هايي به طول  متر توليد مي شود. توليد اين كارخانه در هر روز 244 لوله است. در هر روز چند لوله توليد مي شود ؟

الف) فهميدن مسأله :

- داده هاي مسأله كدامند ؟

- مسأله از شما چه چيزي خواسته است ؟

- مسأله را خلاصه كنيد يا به زبان خود بيان كنيد.

ب) انتخاب راهبرد : براي اينكه مسأله را راحت تر درك كنيم و راه حل آن بيابيم ، آن را با عددهاي ديگر ساده كنيم. در يك كارخانه ، لوله هايي به طول 5 متر توليد مي شود. توليد اين كارخانه در هر روز 200 لوله است. در هر روز چند متر لوله توليد مي شود ؟

ج) حل مسأله : مسأله ساده شده بالا به صورت زير حل مي شود :

مقدار توليد لوله در يك روز                 متر 1000=5×200

حالا مسأله اصلي را حل كنيد.               

د) بازگشت به عقب : عمليات ضرب عدد صحيح در عدد مخلوط را كنترل كنيد.

استفاده از عددهاي صحيح به جاي عددهاي كسري يا اعشاري باعث ساده تر شدن مسأله و درك بهتر آن مي شود.

تذكر : بعد از حل هر قسمت از مسأله حتماً بايد جلونويسي صورت پذيرد.

1. شيوه يادگيري كودكان ، مؤلف استلا و سينادو.

2. كمك به كودكان در يادگيري رياضيات ،‌ مترجم ، مسعود نوروزيان.

3. روش تدريس رياضيات دوره كارداني تربيت معلم.

4. مجله رشد معلم ، شماره 5 ، بهمن ماه 1377.

5. كتاب رياضيات اول راهنمايي.

6.راهکارهای نوین در حل مساله ریاضی دوم، حمزه ی دادخواه و سارا خزایی ، انتشارات رشد اندیشه ،چاپ اول 1385